Sprawdzian Z Działu Potęgi I Pierwiastki
Potęgi i pierwiastki to podstawowe narzędzia matematyczne służące do opisu i rozwiązywania wielu problemów. Potęga jest skróconym zapisem wielokrotnego mnożenia tej samej liczby przez siebie. Pierwiastek z kolei jest operacją odwrotną do potęgowania – szukamy liczby, która podniesiona do określonej potęgi da nam daną liczbę.
Potęgowanie to proces, w którym liczbę zwaną podstawą mnożymy przez siebie określoną liczbę razy. Liczba określająca, ile razy mnożymy podstawę, nazywana jest wykładnikiem. Zapisujemy to jako $a^n$, gdzie $a$ to podstawa, a $n$ to wykładnik. Na przykład, $2^3$ oznacza $2 \times 2 \times 2$, co daje wynik 8. Tutaj 2 jest podstawą, a 3 jest wykładnikiem.
Istnieje kilka ważnych własności potęg, które ułatwiają obliczenia. Kiedy mnożymy potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki: $a^m \times a^n = a^{m+n}$. Kiedy dzielimy potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki: $a^m / a^n = a^{m-n}$. Potęga podniesiona do potęgi to mnożenie wykładników: $(a^m)^n = a^{m \times n}$. Dowolna liczba (różna od zera) podniesiona do potęgi zerowej daje 1: $a^0 = 1$. Potęga ujemna oznacza odwrotność liczby podniesionej do dodatniego wykładnika: $a^{-n} = 1/a^n$.
Pierwiastkowanie jest operacją odwrotną do potęgowania. Pierwiastek n-tego stopnia z liczby $x$ to taka liczba $y$, dla której $y^n = x$. Zapisujemy to jako $\sqrt[n]{x} = y$. Najczęściej spotykany jest pierwiastek kwadratowy (drugiego stopnia), oznaczany jako $\sqrt{x}$. Oznacza on znalezienie liczby, która podniesiona do potęgi drugiej (czyli pomnożona przez siebie) daje $x$. Na przykład, $\sqrt{9} = 3$, ponieważ $3^2 = 9$. Tutaj 9 jest liczbą podpierwiastkową, a 3 jest wynikiem pierwiastkowania.
Podobnie jak w przypadku potęg, istnieją własności pierwiastków. Pierwiastek z iloczynu jest iloczynem pierwiastków: $\sqrt[n]{a \times b} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b}$. Pierwiastek z ilorazu jest ilorazem pierwiastków: $\sqrt[n]{a / b} = \sqrt[n]{a} / \sqrt[n]{b}$. Pierwiastek z pierwiastka to pierwiastek o wykładniku będącym iloczynem wykładników: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \times n]{a}$.
Przykład 1: Oblicz $3^4$. Jest to $3 \times 3 \times 3 \times 3$, co daje 81.
Przykład 2: Oblicz $\sqrt{64}$. Szukamy liczby, która podniesiona do kwadratu da 64. Tą liczbą jest 8, ponieważ $8^2 = 64$.
Potęgi i pierwiastki mają szerokie zastosowanie w życiu codziennym i nauce. Wzrost wykładniczy (np. procent składany w bankowości, rozprzestrzenianie się epidemii) jest opisywany za pomocą potęg. Pierwiastki pojawiają się w geometrii (np. obliczanie długości przekątnej kwadratu za pomocą twierdzenia Pitagorasa), fizyce (np. prawo odwrotnych kwadratów) i inżynierii (np. obliczanie objętości i powierzchni.
