Wykaż że Ciąg An Jest Monotoniczny

Ciąg monotoniczny to ciąg liczbowy, którego wyrazy zachowują pewną kolejność. Mówiąc prościej, ciąg monotoniczny to ciąg, który tylko rośnie, tylko maleje, albo jest stały.

Aby wykazać, że ciąg A_n jest monotoniczny, musimy sprawdzić, czy spełnia jeden z poniższych warunków:

• Rosnący: A_n+1 > A_n dla każdego n
• Malejący: A_n+1 < A_n dla każdego n
• Nierosnący: A_n+1 ≤ A_n dla każdego n
• Niemalejący: A_n+1 ≥ A_n dla każdego n
• Stały: A_n+1 = A_n dla każdego n

Najczęstszym sposobem na to jest badanie znaku różnicy A_n+1 - A_n.

Krok po kroku:

1. Zapisz wzór na A_n+1. Po prostu zamień 'n' na 'n+1' we wzorze na A_n.
2. Oblicz różnicę A_n+1 - A_n. Wykonaj odejmowanie i uprość wyrażenie.
3. Określ znak różnicy A_n+1 - A_n. Czy jest zawsze dodatni, zawsze ujemny, zawsze zero, czy może zależy od 'n'?
4. Wyciągnij wnioski. Na podstawie znaku różnicy, stwierdź, czy ciąg jest rosnący, malejący, niemalejący, nierosnący, czy stały.

Przykład 1: Wykaż, że ciąg A_n = 3n + 2 jest rosnący.

1. A_n+1 = 3(n+1) + 2 = 3n + 3 + 2 = 3n + 5
2. A_n+1 - A_n = (3n + 5) - (3n + 2) = 3
3. Różnica jest równa 3, czyli jest zawsze dodatnia.
4. Wniosek: Ciąg A_n = 3n + 2 jest rosnący.

Przykład 2: Wykaż, że ciąg A_n = -2n + 5 jest malejący.

1. A_n+1 = -2(n+1) + 5 = -2n - 2 + 5 = -2n + 3
2. A_n+1 - A_n = (-2n + 3) - (-2n + 5) = -2
3. Różnica jest równa -2, czyli jest zawsze ujemna.
4. Wniosek: Ciąg A_n = -2n + 5 jest malejący.

Alternatywna metoda (dla ciągów o wyrazach dodatnich):

Jeśli wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie, można badać iloraz A_n+1 / A_n:

• Jeśli A_n+1 / A_n > 1, to ciąg jest rosnący.
• Jeśli A_n+1 / A_n < 1, to ciąg jest malejący.
• Jeśli A_n+1 / A_n = 1, to ciąg jest stały.

Pamiętaj, że wybór metody zależy od wzoru na ciąg. Badanie różnicy jest często prostsze dla ciągów arytmetycznych, a badanie ilorazu dla ciągów geometrycznych. Kluczem jest uproszczenie wyrażenia i określenie jego znaku.