Sprawdzian Matematyka Poznać Zrozumieć 1 Funkcja Kwadratowa

Funkcja kwadratowa to funkcja postaci f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b i c są współczynnikami liczbowymi, a a ≠ 0. Kluczowym elementem jest obecność składnika z x², który odróżnia ją od funkcji liniowej.

Wykres funkcji kwadratowej to parabola. Kształt paraboli zależy od wartości współczynnika a. Jeśli a > 0, ramiona paraboli skierowane są w górę (funkcja ma minimum lokalne). Jeśli a < 0, ramiona skierowane są w dół (funkcja ma maksimum lokalne).

Wierzchołek paraboli jest niezwykle ważnym punktem. Jego współrzędne można obliczyć ze wzorów: x_w = -b / 2a oraz y_w = f(x_w). Wierzchołek określa najmniejszą lub największą wartość funkcji.

Miejsca zerowe funkcji kwadratowej to wartości x, dla których f(x) = 0. Aby je znaleźć, rozwiązujemy równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0. Wykorzystujemy do tego wyróżnik (deltę): Δ = b² - 4ac.

Jeśli Δ > 0, funkcja ma dwa różne miejsca zerowe, które obliczamy ze wzorów: x₁ = (-b - √Δ) / 2a i x₂ = (-b + √Δ) / 2a.

Jeśli Δ = 0, funkcja ma jedno miejsce zerowe (tzw. pierwiastek podwójny): x₀ = -b / 2a. W tym przypadku wierzchołek paraboli leży na osi OX.

Jeśli Δ < 0, funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych. Parabola nie przecina osi OX.

Oś symetrii paraboli jest prostą pionową przechodzącą przez wierzchołek. Jej równanie to x = x_w, czyli x = -b / 2a.

Przykłady:

1. Funkcja f(x) = x² - 4x + 3. Tutaj a = 1, b = -4, c = 3. Ponieważ a > 0, ramiona paraboli skierowane są w górę. Obliczamy deltę: Δ = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4. Delta jest dodatnia, więc mamy dwa miejsca zerowe: x₁ = (4 - √4) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1 oraz x₂ = (4 + √4) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3. Wierzchołek: x_w = -(-4) / (2 * 1) = 4 / 2 = 2, y_w = f(2) = 2² - 42 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. Wierzchołek to punkt (2, -1).

2. Funkcja g(x) = -x² + 2x - 1. Tutaj a = -1, b = 2, c = -1. Ponieważ a < 0, ramiona skierowane są w dół. Delta: Δ = 2² - 4 * (-1) * (-1) = 4 - 4 = 0. Jedno miejsce zerowe: x₀ = -2 / (2 * -1) = -2 / -2 = 1. Wierzchołek: x_w = 1, y_w = g(1) = -(1)² + 21 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0. Wierzchołek to punkt (1, 0).

Funkcje kwadratowe znajdują zastosowanie w opisywaniu zjawisk fizycznych, takich jak tor ruchu pocisku czy trajektoria lotu piłki. Są również wykorzystywane w inżynierii i ekonomii do modelowania optymalizacji i prognozowania.