Sprawdzian Funkcje Trygonometryczne 2 Liceum Pdf

Funkcje trygonometryczne to podstawa trygonometrii. Opisują one zależność między kątami w trójkącie prostokątnym a długościami jego boków. Najważniejsze funkcje to sinus (sin), cosinus (cos), tangens (tg) i cotangens (ctg).

Definicje w trójkącie prostokątnym: Wyobraź sobie trójkąt prostokątny. Jeden z kątów ma 90 stopni (kąt prosty). Oznaczmy pozostałe kąty jako α i β. Boki trójkąta to: przeciwprostokątna (najdłuższy bok), przyprostokątna przyległa (leży obok kąta) i przyprostokątna przeciwległa (naprzeciw kąta).

Sinus (sin): sin(α) = długość przyprostokątnej przeciwległej / długość przeciwprostokątnej. Na przykład, jeśli przyprostokątna przeciwległa do kąta α ma długość 3, a przeciwprostokątna ma długość 5, to sin(α) = 3/5.

Cosinus (cos): cos(α) = długość przyprostokątnej przyległej / długość przeciwprostokątnej. Jeśli przyprostokątna przyległa do kąta α ma długość 4, a przeciwprostokątna ma długość 5, to cos(α) = 4/5.

Tangens (tg): tg(α) = długość przyprostokątnej przeciwległej / długość przyprostokątnej przyległej. Jeśli przyprostokątna przeciwległa do kąta α ma długość 3, a przyprostokątna przyległa ma długość 4, to tg(α) = 3/4. Można też zapamiętać, że tg(α) = sin(α) / cos(α).

Cotangens (ctg): ctg(α) = długość przyprostokątnej przyległej / długość przyprostokątnej przeciwległej. Jeśli przyprostokątna przyległa do kąta α ma długość 4, a przyprostokątna przeciwległa ma długość 3, to ctg(α) = 4/3. ctg(α) jest odwrotnością tangensa, czyli ctg(α) = 1 / tg(α) = cos(α) / sin(α).

Wartości dla kątów szczególnych: Warto zapamiętać wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0°, 30°, 45°, 60° i 90°. Na przykład: sin(30°) = 1/2, cos(60°) = 1/2, tg(45°) = 1.

Okresowość funkcji: Funkcje sinus i cosinus są funkcjami okresowymi o okresie 2π (360°). Oznacza to, że sin(α + 360°) = sin(α) i cos(α + 360°) = cos(α). Funkcje tangens i cotangens są okresowe o okresie π (180°). Oznacza to, że tg(α + 180°) = tg(α) i ctg(α + 180°) = ctg(α).

Wykresy funkcji: Zrozumienie wykresów funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens ułatwia rozwiązywanie zadań. Wykres sinusa zaczyna się w punkcie (0,0), a cosinusa w punkcie (0,1). Tangens ma asymptoty (linie, do których wykres się zbliża, ale ich nie przecina) w punktach, gdzie cosinus jest równy zero.

Tożsamości trygonometryczne: To równania, które są prawdziwe dla wszystkich wartości kątów. Najważniejsza to jedynka trygonometryczna: sin²(α) + cos²(α) = 1. Inne ważne tożsamości to wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, wzory na sinus i cosinus kąta podwójnego, oraz wzory redukcyjne.

Zastosowania: Funkcje trygonometryczne są szeroko stosowane w fizyce (np. w opisie ruchu falowego), nawigacji, geodezji, informatyce (grafika komputerowa) i wielu innych dziedzinach.