Oe Pazdro 2 Matematyka Zakres Rozszerzony Funkcja Kwadratowa Sprawdzian

Funkcja kwadratowa, w kontekście sprawdzianu z matematyki rozszerzonej (Oe Pazdro 2), to funkcja postaci f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi, a a ≠ 0. Jej grafem jest parabola.

Kluczowe aspekty funkcji kwadratowej obejmują:

1. Współczynnik a: Określa kierunek otwarcia paraboli. Jeśli a > 0, parabola jest skierowana w górę (ma ramiona skierowane do góry). Jeśli a < 0, parabola jest skierowana w dół (ma ramiona skierowane do dołu). Wartość bezwzględna |a| wpływa na "szerokość" paraboli; im większa |a|, tym węższa parabola.

2. Postać ogólna: f(x) = ax² + bx + c. Z niej łatwo odczytać współczynnik c, który reprezentuje punkt przecięcia paraboli z osią OY (punkt (0, c)).

3. Postać kanoniczna: f(x) = a(x - p)² + q. Współrzędne wierzchołka paraboli to (p, q). p i q można obliczyć ze wzorów: p = -b / 2a oraz q = -Δ / 4a, gdzie Δ (delta) jest wyróżnikiem.

4. Postać iloczynowa: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂), gdzie x₁ i x₂ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej. Postać ta istnieje tylko wtedy, gdy Δ ≥ 0 (funkcja ma co najmniej jedno miejsce zerowe).

5. Wyróżnik (Δ): Δ = b² - 4ac. Określa liczbę miejsc zerowych funkcji kwadratowej: * Δ > 0: Dwa różne miejsca zerowe. * Δ = 0: Jedno miejsce zerowe (podwójne). * Δ < 0: Brak miejsc zerowych.

6. Miejsca zerowe: Rozwiązania równania ax² + bx + c = 0. Oblicza się je ze wzorów: * x₁ = (-b - √Δ) / 2a * x₂ = (-b + √Δ) / 2a (jeśli Δ > 0) * x = -b / 2a (jeśli Δ = 0)

7. Wierzchołek paraboli: Punkt, w którym funkcja kwadratowa osiąga wartość minimalną (gdy a > 0) lub maksymalną (gdy a < 0). Jego współrzędne to (p, q), gdzie p = -b / 2a i q = -Δ / 4a.

Przykład 1: Funkcja f(x) = x² - 4x + 3. a = 1, b = -4, c = 3. Δ = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 4. Miejsca zerowe: x₁ = 1, x₂ = 3. Wierzchołek: p = 2, q = -1, więc W(2, -1).

Przykład 2: Funkcja f(x) = -2x² + 4x - 2. a = -2, b = 4, c = -2. Δ = 4² - 4 * (-2) * (-2) = 0. Jedno miejsce zerowe: x = 1. Wierzchołek: p = 1, q = 0, więc W(1, 0).

Funkcja kwadratowa znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, np. w fizyce (ruch pocisku), ekonomii (modelowanie zysków i strat), oraz inżynierii (projektowanie mostów parabolicznych i anten).