Matura Czerwiec 2011 Matematyka Rozszerzona Odpowiedzi

Artykuł ten omawia przykładowe odpowiedzi do Matury z Matematyki Rozszerzonej, która odbyła się w czerwcu 2011 roku. Jest to materiał pomocniczy, który ma na celu wyjaśnienie kluczowych zagadnień i sposobów rozwiązywania typowych zadań egzaminacyjnych. Skupimy się na konkretnych przykładach, aby ułatwić zrozumienie.

Co to jest Matura z Matematyki Rozszerzonej?

Matura rozszerzona z matematyki to egzamin na poziomie ponadpodstawowym. Wymaga on dogłębnego zrozumienia zagadnień matematycznych, umiejętności ich stosowania w różnych kontekstach oraz samodzielnego rozwiązywania bardziej skomplikowanych problemów. Zakres materiału jest znacznie szerszy niż na poziomie podstawowym.

Typowe zadania i przykładowe rozwiązania

W arkuszu maturalnym z 2011 roku na poziomie rozszerzonym pojawiały się zadania z różnych działów, takich jak:

• Algebra: Równania, nierówności, funkcje wykładnicze i logarytmiczne.
• Geometria: Analityczna, stereometria, planimetria.
• Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka.
• Analiza matematyczna: Granice, pochodne, badanie przebiegu zmienności funkcji.

Przyjrzyjmy się przykładowemu zadaniu z algebry.

Przykład 1: Rozwiąż nierówność

Rozważmy nierówność:

log₂(x-1) + log₂(x+2) < 2

Krok 1: Dziedzina

Aby logarytm był określony, argument musi być dodatni. Stąd:

x - 1 > 0 => x > 1

x + 2 > 0 => x > -2

Częścią wspólną obu warunków jest x > 1. To jest nasza dziedzina.

Krok 2: Zastosowanie własności logarytmów

Korzystamy z własności: logₐb + logₐc = logₐ(b*c).

log₂((x-1)(x+2)) < 2

Krok 3: Zamiana na formę potęgową

Wiemy, że 2 = log₂(2²) = log₄.

log₂((x-1)(x+2)) < log₂(4)

Krok 4: Rozwiązanie

Ponieważ funkcja logarytmiczna o podstawie większej od 1 jest rosnąca, możemy opuścić logarytmy, zachowując kierunek nierówności.

(x-1)(x+2) < 4

x² + 2x - x - 2 < 4

x² + x - 2 < 4

x² + x - 6 < 0

Aby rozwiązać tę nierówność kwadratową, znajdujemy pierwiastki równania x² + x - 6 = 0. Używając wzoru na deltę (Δ), otrzymujemy pierwiastki x₁ = -3 i x₂ = 2.

Parabola y = x² + x - 6 ma ramiona skierowane w górę. Nierówność x² + x - 6 < 0 jest spełniona dla wartości x pomiędzy pierwiastkami, czyli -3 < x < 2.

Krok 5: Połączenie z dziedziną

Musimy połączyć otrzymany przedział z dziedziną x > 1.

Częścią wspólną przedziałów (-3, 2) i (1, +∞) jest przedział (1, 2).

Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (1, 2).

Ten przykład pokazuje, jak ważne jest systematyczne podejście i stosowanie kolejnych kroków: określenie dziedziny, przekształcenie wyrażenia, rozwiązanie nierówności i połączenie wyników z dziedziną. Szczegółowe omówienie takich zadań można znaleźć w opracowaniach dedykowanych maturze z danego roku.