Log 3 Pierwiastek Z 3 1 81

Witaj! Przygotujmy się razem do egzaminu z logarytmów. Omówimy konkretny przykład: log_3√3(1/81).

Zacznijmy od podstaw. Logarytm to działanie odwrotne do potęgowania. Pamiętaj, że log_a(b) = c oznacza, że a^c = b. a nazywamy podstawą logarytmu, b liczbą logarytmowaną, a c wynikiem logarytmu. Musimy znaleźć taką potęgę, do której trzeba podnieść 3√3, żeby otrzymać 1/81.

Spójrzmy na podstawę logarytmu: 3√3. Możemy to zapisać jako 3¹ * 3^1/2. Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki. Zatem 3¹ * 3^1/2 = 3^3/2. Teraz możemy zapisać nasz logarytm jako log_3^3/2(1/81).

Teraz zajmijmy się liczbą logarytmowaną: 1/81. Możemy to zapisać jako 81^-1. Wiemy, że 81 to 3⁴. Zatem 1/81 = (3⁴)^-1. Przy potęgowaniu potęgi, mnożymy wykładniki. (3⁴)^-1 = 3^-4. Mamy teraz log_3^3/2(3^-4).

Użyjemy teraz ważnej własności logarytmów. log_a^k(b^l) = (l/k) * log_a(b). W naszym przypadku a = 3, k = 3/2, l = -4 i b = 3. Zatem log_3^3/2(3^-4) = (-4 / (3/2)) * log₃(3).

Wiemy, że log_a(a) = 1. Zatem log₃(3) = 1. Musimy obliczyć -4 / (3/2). Dzielenie to mnożenie przez odwrotność. -4 / (3/2) = -4 * (2/3) = -8/3. Ostatecznie, (-8/3) * 1 = -8/3.

Wynik logarytmu to -8/3. To oznacza, że (3√3)^-8/3 = 1/81. Sprawdźmy to. (3^3/2)^-8/3 = 3^(3/2)*(-8/3) = 3^-4 = 1/3⁴ = 1/81. Zgadza się!

Podsumowując, log_3√3(1/81) = -8/3. Kluczowe kroki to: zamiana podstawy i liczby logarytmowanej na potęgi o tej samej podstawie, a następnie użycie własności logarytmów.

Pamiętaj o własnościach logarytmów i potęg. Ćwicz regularnie, a osiągniesz sukces! Powodzenia na egzaminie!