Funkcja Kwadratowa 1 Liceum Sprawdzian

Funkcja kwadratowa to funkcja, którą można zapisać w postaci f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b, c to liczby rzeczywiste, a a jest różne od zera. To kluczowe pojęcie w matematyce, a zwłaszcza w liceum.

Postacie funkcji kwadratowej:

• Postać ogólna: f(x) = ax² + bx + c. W tej postaci łatwo odczytać współczynniki a, b i c.
• Postać kanoniczna: f(x) = a(x - p)² + q. Tutaj (p, q) to współrzędne wierzchołka paraboli. p = -b/2a, a q = -Δ/4a, gdzie Δ (delta) to wyróżnik.
• Postać iloczynowa: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂). x₁ i x₂ to miejsca zerowe funkcji, czyli rozwiązania równania ax² + bx + c = 0. Ta postać istnieje tylko wtedy, gdy Δ ≥ 0.

Wyróżnik (Delta):

Δ = b² - 4ac. Delta decyduje o liczbie miejsc zerowych funkcji kwadratowej:

• Δ > 0: funkcja ma dwa różne miejsca zerowe.
• Δ = 0: funkcja ma jedno miejsce zerowe (pierwiastek podwójny).
• Δ < 0: funkcja nie ma miejsc zerowych (parabola nie przecina osi OX).

Miejsca zerowe:

Jeżeli Δ > 0, to miejsca zerowe obliczamy ze wzorów:

x₁ = (-b - √Δ) / 2a

x₂ = (-b + √Δ) / 2a

Jeżeli Δ = 0, to funkcja ma jedno miejsce zerowe:

x₀ = -b / 2a

Wierzchołek paraboli:

Wierzchołek paraboli to punkt, w którym funkcja kwadratowa osiąga wartość najmniejszą (gdy a > 0) lub wartość największą (gdy a < 0). Współrzędne wierzchołka to (p, q), gdzie p = -b/2a, a q = -Δ/4a.

Własności funkcji kwadratowej:

• Dziedzina: zbiór wszystkich liczb rzeczywistych (R).
• Zbiór wartości: zależy od znaku współczynnika a i położenia wierzchołka. Jeżeli a > 0, to zbiór wartości to . Jeżeli a < 0, to zbiór wartości to (-∞, q>.
• Monotoniczność: funkcja kwadratowa jest malejąca od (-∞, p> i rosnąca od (gdy a > 0) lub rosnąca od (-∞, p> i malejąca od (gdy a < 0).