Funkcja I Jej Własności Sprawdzian 1 Gimnazjum

Ten artykuł pomoże Ci zrozumieć, czym jest funkcja i jakie ma własności. Jest to materiał na sprawdzian z pierwszego gimnazjum.

Co to jest funkcja?

Wyobraź sobie maszynę. Wrzucasz do niej coś (to jest argument), a ona wypluwa coś innego (to jest wartość funkcji). Ważne jest, że do każdego argumentu maszyna zawsze wypluje dokładnie jedną wartość. To właśnie jest funkcja.

Formalnie mówiąc, funkcja to przyporządkowanie. Każdemu elementowi z pewnego zbioru (nazywanego dziedziną) przyporządkowany jest dokładnie jeden element z innego zbioru (nazywanego przeciwdziedziną).

Najczęściej funkcje oznaczamy literką 'f'. Argument funkcji piszemy w nawiasie, np. f(x). Czytamy to jako "funkcja f od x" lub "wartość funkcji f dla argumentu x".

Dziedzina i zbiór wartości

Dziedzina funkcji (D_f) to zbiór wszystkich możliwych argumentów, dla których funkcja jest określona. To są te rzeczy, które możemy wrzucić do naszej "maszyny".

Zbiór wartości funkcji (Zw_f) to zbiór wszystkich możliwych wartości, które funkcja może przyjąć. To są te rzeczy, które maszyna może wypluć.

Przykład:

Niech funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej jej kwadrat. Czyli f(x) = x², gdzie x jest liczbą naturalną.

Dziedziną tej funkcji są wszystkie liczby naturalne: {1, 2, 3, 4, ...}.

Zbiorem wartości tej funkcji są kwadraty liczb naturalnych: {1, 4, 9, 16, ...}.

Sposoby zapisu funkcji

Funkcje można zapisywać na różne sposoby:

1. Opis słowny: Jak w przykładzie powyżej - "funkcja przyporządkowuje liczbie jej kwadrat".
2. Wzór matematyczny: Najczęściej używany, np. f(x) = 2x + 1.
3. Tabela: Pokazuje pary argument-wartość.

   Przykład dla f(x) = x², gdzie x ∈ {1, 2, 3}:

   x	1	2	3
   f(x)	1	4	9

4. Wykresem funkcji: Jest to zbiór wszystkich punktów (x, f(x)) na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Własności funkcji

Funkcje mogą mieć różne własności. Oto najważniejsze, które poznasz w gimnazjum:

1. Monotoniczność:

* Funkcja rosnąca: Kiedy argument rośnie, wartość funkcji też rośnie. Jeśli x₁ < x₂, to f(x₁) < f(x₂).

* Funkcja malejąca: Kiedy argument rośnie, wartość funkcji maleje. Jeśli x₁ < x₂, to f(x₁) > f(x₂).

* Funkcja stała: Wartość funkcji jest zawsze taka sama, niezależnie od argumentu. f(x₁) = f(x₂).

2. Parzystość:

* Funkcja parzysta: Jej wykres jest symetryczny względem osi OY. Matematycznie: f(-x) = f(x) dla każdego x z dziedziny.

* Funkcja nieparzysta: Jej wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych. Matematycznie: f(-x) = -f(x) dla każdego x z dziedziny.

* Funkcja może nie być ani parzysta, ani nieparzysta.

3. Miejsca zerowe:

Są to argumenty x, dla których wartość funkcji wynosi zero, czyli f(x) = 0. Są to punkty, w których wykres funkcji przecina oś OX.

4. Wartości dodatnie i ujemne:

* Funkcja przyjmuje wartości dodatnie (f(x) > 0) dla pewnych argumentów. Jej wykres znajduje się wtedy nad osią OX.

* Funkcja przyjmuje wartości ujemne (f(x) < 0) dla pewnych argumentów. Jej wykres znajduje się wtedy pod osią OX.

Pamiętaj, że funkcja to podstawowe pojęcie w matematyce. Im lepiej je zrozumiesz, tym łatwiej będzie Ci uczyć się kolejnych tematów.